初中數學知識點圓總結(jie)

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　　初中數學知識點圓總結1

　　一、圓

　　1、圓的有關性質(zhi)

　　在一(yi)個(ge)平面(mian)內，線(xian)段(duan)OA繞它固定的(de)一(yi)個(ge)端(duan)點O旋轉一(yi)周，另一(yi)個(ge)端(duan)點A隨(sui)之旋轉所形(xing)成的(de)圖形(xing)叫(jiao)(jiao)圓(yuan)，固定的(de)端(duan)點O叫(jiao)(jiao)圓(yuan)心，線(xian)段(duan)OA叫(jiao)(jiao)半徑。

　　由圓的意義(yi)可知：

　　圓上各點(dian)到定點(dian)（圓心O）的距離等于定長(chang)的點(dian)都在圓上。

　　就是說(shuo)：圓(yuan)是到(dao)定點的(de)(de)距離等于定長的(de)(de)點的(de)(de)集合，圓(yuan)的(de)(de)內部可以看作是到(dao)圓(yuan)。心的(de)(de)距離小于半徑的(de)(de)點的(de)(de)集合。

　　圓(yuan)(yuan)的(de)外部(bu)可以(yi)看(kan)作是到圓(yuan)(yuan)心的(de)距離(li)大于半徑的(de)點的(de)集(ji)合。連結圓(yuan)(yuan)上(shang)任意兩點的(de)線段叫做弦(xian)，經(jing)過圓(yuan)(yuan)心的(de)弦(xian)叫直徑。圓(yuan)(yuan)上(shang)任意兩點間的(de)部(bu)分叫圓(yuan)(yuan)弧(hu)，簡稱(cheng)弧(hu)。

　　圓(yuan)的任意一條(tiao)(tiao)(tiao)直徑的兩個端點分圓(yuan)成兩條(tiao)(tiao)(tiao)弧(hu)(hu)，每一條(tiao)(tiao)(tiao)弧(hu)(hu)都(dou)叫(jiao)(jiao)半(ban)(ban)圓(yuan)，大于(yu)半(ban)(ban)圓(yuan)的弧(hu)(hu)叫(jiao)(jiao)優弧(hu)(hu)；小于(yu)半(ban)(ban)圓(yuan)的弧(hu)(hu)叫(jiao)(jiao)劣弧(hu)(hu)。由(you)弦(xian)及其所對的弧(hu)(hu)組成的圓(yuan)形(xing)叫(jiao)(jiao)弓形(xing)。

　　圓(yuan)心相(xiang)同，半(ban)徑不(bu)相(xiang)等的(de)兩個圓(yuan)叫同心圓(yuan)。

　　能(neng)夠重合(he)的(de)兩個圓叫(jiao)等圓。

　　同圓或等(deng)(deng)圓的半徑(jing)相等(deng)(deng)。

　　在同(tong)圓或等(deng)圓中，能夠(gou)互(hu)相(xiang)重(zhong)合的弧叫等(deng)弧。

　　二、過三點的圓

　　l、過三點的圓

　　過三(san)點的圓的作(zuo)法：利用中(zhong)垂(chui)線找圓心(xin)

　　定理不在同一直(zhi)線上的三個(ge)點確定一個(ge)圓。

　　經(jing)過三(san)角(jiao)(jiao)形各頂點的(de)圓(yuan)叫(jiao)三(san)角(jiao)(jiao)形的(de)外(wai)接圓(yuan)，外(wai)接圓(yuan)的(de)圓(yuan)心叫(jiao)外(wai)心，這個三(san)角(jiao)(jiao)形叫(jiao)圓(yuan)的(de)內(nei)接三(san)角(jiao)(jiao)形。

　　2、反證法

　　反證法的(de)三個步驟：

　　①假設命題的(de)結論不成立；

　　②從(cong)這個假設出(chu)發，經過推理論證，得出(chu)矛盾；

　　③由矛盾得出(chu)假設(she)不正確，從而肯定命題的(de)結論正確。

　　例(li)如：求證三角(jiao)(jiao)形中(zhong)最多(duo)只有一(yi)個(ge)角(jiao)(jiao)是鈍角(jiao)(jiao)。

　　證明：設有兩個以上是(shi)鈍角

　　則兩個鈍角之和＞180°

　　與三角形內角和(he)等(deng)于180°矛盾。

　　∴不可能(neng)有(you)二個以(yi)上是(shi)鈍角。

　　即最多只能有一(yi)個是鈍(dun)角。

　　三、垂直于弦的直徑

　　圓(yuan)是(shi)軸(zhou)對稱圖形，經過圓(yuan)心(xin)的每一條直線都是(shi)它的`對稱軸(zhou)。

　　垂(chui)徑(jing)定(ding)理：垂(chui)直于(yu)弦(xian)(xian)的直徑(jing)平分這條(tiao)弦(xian)(xian)，并且平分弦(xian)(xian)所對的兩條(tiao)弧。

　　推(tui)理1：平分弦（不是直(zhi)徑(jing)(jing)）的直(zhi)徑(jing)(jing)垂(chui)直(zhi)于弦，并(bing)且平分弦所對兩條弧。

　　弦(xian)的(de)垂直平分(fen)線經(jing)過圓心，并且(qie)平分(fen)弦(xian)所(suo)對的(de)兩條(tiao)弧(hu)。

　　平(ping)分弦(xian)所對(dui)的(de)一條(tiao)(tiao)弧的(de)直徑，垂直平(ping)分弦(xian)，并且平(ping)分弦(xian)所對(dui)的(de)另一個條(tiao)(tiao)弧。

　　推理2：圓兩條(tiao)平行弦所夾的弧相等。

　　四、圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系

　　圓(yuan)是以圓(yuan)心為對稱(cheng)中(zhong)心的中(zhong)心對稱(cheng)圖形。

　　實際上，圓(yuan)繞圓(yuan)心旋(xuan)轉任意一個(ge)角度，都能夠與原來(lai)的圖形重(zhong)合。

　　頂點是(shi)圓心的角叫圓心角，從圓心到弦的距(ju)離叫弦心距(ju)。

　　定(ding)理(li)：在同圓或等圓中，相等的(de)(de)圓心(xin)角(jiao)所(suo)對的(de)(de)弧相等，所(suo)對的(de)(de)弦相等，所(suo)對的(de)(de)弦心(xin)距相等。

　　推理：在(zai)同(tong)圓(yuan)或(huo)等(deng)(deng)圓(yuan)中，如果(guo)兩(liang)個圓(yuan)心(xin)角、兩(liang)條(tiao)弧(hu)、兩(liang)條(tiao)弦(xian)或(huo)兩(liang)條(tiao)弦(xian)的(de)(de)弦(xian)心(xin)距(ju)中，有一(yi)組(zu)量相等(deng)(deng)，那么它們(men)所對應的(de)(de)其余(yu)各組(zu)量都分別相等(deng)(deng)。

　　五、圓周角

　　頂點(dian)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫圓周角。

　　推理1：同弧或(huo)等弧所對的圓周角相(xiang)等；同圓或(huo)等圓中，相(xiang)等的圓周角所對的弧也相(xiang)等。

　　推理2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑。

　　推理3：如(ru)果三角(jiao)形(xing)一(yi)邊上的(de)中線等于這(zhe)邊的(de)一(yi)半，那么這(zhe)個(ge)三角(jiao)形(xing)是直角(jiao)三角(jiao)形(xing)。

　　由于以上(shang)的定(ding)理(li)、推理(li)，所添加(jia)輔助線往往是添加(jia)能構成直徑上(shang)的圓(yuan)周角的輔助線。

　　六、圓的判定性質

　　1.不在同(tong)一(yi)直線(xian)上的三(san)點確定一(yi)個圓。

　　2.垂(chui)徑(jing)定(ding)理 垂(chui)直(zhi)于弦的直(zhi)徑(jing)平(ping)分(fen)這條(tiao)弦并且平(ping)分(fen)弦所(suo)對的兩條(tiao)弧

　　推論1

　　①平(ping)(ping)分弦(不是直(zhi)徑)的直(zhi)徑垂直(zhi)于弦，并(bing)且平(ping)(ping)分弦所對(dui)的兩條(tiao)弧

　　②弦的垂直平分線經(jing)過(guo)圓心(xin)，并且平分弦所對的兩條弧(hu)

　　③平分(fen)弦所對的(de)一條弧的(de)直(zhi)徑，垂直(zhi)平分(fen)弦，并且平分(fen)弦所對的(de)另一條弧

　　推論2 圓的兩(liang)條平行弦所(suo)夾(jia)的弧(hu)相等

　　3.圓是以(yi)圓心(xin)為(wei)對稱(cheng)中(zhong)心(xin)的中(zhong)心(xin)對稱(cheng)圖形

　　4.圓(yuan)是定點的(de)距(ju)離等于(yu)定長(chang)的(de)點的(de)集合

　　5.圓的(de)內部可以看作是圓心的(de)距離小于半徑的(de)點的(de)集(ji)合

　　6.圓的外部可以看作是(shi)圓心的距離(li)大于(yu)半徑的點(dian)的集合

　　7.同圓(yuan)或(huo)等圓(yuan)的半(ban)徑相等

　　8.到定(ding)點(dian)(dian)的(de)距離等(deng)于定(ding)長(chang)(chang)的(de)點(dian)(dian)的(de)軌跡，是(shi)以(yi)定(ding)點(dian)(dian)為圓心，定(ding)長(chang)(chang)為半徑的(de)圓

　　9.定理 在同圓(yuan)或等圓(yuan)中，相(xiang)(xiang)等的(de)圓(yuan)心角所對(dui)的(de)弧相(xiang)(xiang)等，所對(dui)的(de)弦 相(xiang)(xiang)等，所對(dui)的(de)弦的(de)弦心距相(xiang)(xiang)等

　　10.推論 在同圓(yuan)或等圓(yuan)中(zhong)，如果(guo)兩(liang)(liang)個圓(yuan)心角、兩(liang)(liang)條(tiao)弧、兩(liang)(liang)條(tiao)弦(xian)或兩(liang)(liang) 弦(xian)的(de)弦(xian)心距中(zhong)有一組量(liang)(liang)相等那(nei)么它們所對應的(de)其余各組量(liang)(liang)都相等。

　　11定理 圓的(de)內接四(si)邊形的(de)對角(jiao)互補，并且(qie)任何一個外角(jiao)都等于它 的(de)內對角(jiao)

　　12.①直線(xian)L和⊙O相交(jiao) d

　　②直(zhi)線L和⊙O相切(qie) d=r

　　③直線L和⊙O相離 dr

　　13.切線(xian)的(de)判定定理(li) 經過(guo)半徑的(de)外(wai)端并且垂直于這條半徑的(de)直線(xian)是圓的(de)切線(xian)

　　14.切(qie)線的(de)性質定理 圓的(de)切(qie)線垂直于經過(guo)切(qie)點的(de)半徑(jing)

　　15.推(tui)論1 經(jing)過圓心且(qie)垂直于切線(xian)的直線(xian)必經(jing)過切點

　　16.推(tui)論(lun)2 經(jing)過切點且垂直(zhi)于切線(xian)的直(zhi)線(xian)必(bi)經(jing)過圓(yuan)心

　　17.切線(xian)長定(ding)理 從圓(yuan)外(wai)一點引圓(yuan)的兩條切線(xian)，它們的切線(xian)長相等， 圓(yuan)心和這一點的連線(xian)平(ping)分兩條切線(xian)的夾角

　　18.圓的(de)外切四邊形(xing)的(de)兩組對邊的(de)和相等 外角(jiao)等于內對角(jiao)

　　19.如果兩個(ge)圓(yuan)相切，那(nei)么切點一(yi)定在連心線(xian)上(shang)

　　20.①兩(liang)圓外離 dR+r ②兩(liang)圓外切 d=R+r

　　③.兩圓(yuan)相交 R-rr)

　　④.兩圓內切 d=R-r(Rr) ⑤兩圓內含(han)dr)

　　初中數學知識點圓總結2

　　一.圓的定義

　　1.平面(mian)上到定(ding)點的距離等于定(ding)長的所有點組成的圖形叫做圓。

　　2.平面上一(yi)條線段，繞它的一(yi)端旋轉360°，留下(xia)的軌(gui)跡叫圓。

　　二.圓心

　　1.定義1中的定點為圓心。

　　2.定義(yi)2中繞(rao)的(de)那一端的(de)端點為圓心(xin)。

　　3.圓(yuan)任意(yi)兩條(tiao)對稱(cheng)軸的交點為圓(yuan)心。

　　4.垂(chui)直于圓(yuan)內任意一(yi)條弦且(qie)兩(liang)個端點在圓(yuan)上的線段的二分點為圓(yuan)心。

　　注(zhu)：圓心一般用字母O表(biao)示

　　5.直(zhi)徑(jing)：通過圓心，并且兩端都在圓上的線段叫做圓的直(zhi)徑(jing)。直(zhi)徑(jing)一般用字母d表示(shi)。

　　6.半徑：連接(jie)圓心和(he)圓上任意一點(dian)的線段，叫做圓的半徑。半徑一般用字(zi)母r表示(shi)。

　　7.圓(yuan)的直徑(jing)和半(ban)徑(jing)都有無數條。圓(yuan)是軸(zhou)對稱(cheng)圖形，每條直徑(jing)所在的直線是圓(yuan)的對稱(cheng)軸(zhou)。在同圓(yuan)或等(deng)圓(yuan)中：直徑(jing)是半(ban)徑(jing)的2倍，半(ban)徑(jing)是直徑(jing)的二分(fen)之一.d=2r或r=二分(fen)之d。

　　8.圓(yuan)的半徑(jing)或(huo)直徑(jing)決定(ding)圓(yuan)的大(da)小，圓(yuan)心決定(ding)圓(yuan)的位置。

　　三.圓的基本性質

　　1.圓的對稱性

　　(1)圓是(shi)軸對稱圖形(xing)，它的(de)對稱軸是(shi)直徑所在的(de)直線。

　　(2)圓是中心(xin)對(dui)稱圖(tu)形，它的對(dui)稱中心(xin)是圓心(xin)。

　　(3)圓是旋轉對稱圖形(xing)。

　　2.垂徑定理

　　(1)垂直于弦的(de)直徑平(ping)(ping)分這條弦，且平(ping)(ping)分這條弦所對(dui)的(de)兩條弧。

　　(2)推論：

　　平分弦(非直(zhi)徑(jing))的直(zhi)徑(jing)，垂(chui)直(zhi)于弦且平分弦所對的兩條(tiao)弧。

　　平分弧的(de)直徑，垂直平分弧所對的(de)弦。

　　3.圓(yuan)心角(jiao)的度(du)數(shu)(shu)等于它(ta)所(suo)對弧的度(du)數(shu)(shu)。圓(yuan)周角(jiao)的度(du)數(shu)(shu)等于它(ta)所(suo)對弧度(du)數(shu)(shu)的一半。

　　(1)同弧所(suo)對(dui)的(de)圓周角相等。

　　(2)直徑(jing)所(suo)對的(de)(de)圓周角(jiao)是直角(jiao);圓周角(jiao)為(wei)直角(jiao)，它所(suo)對的(de)(de)弦(xian)是直徑(jing)。

　　4.在(zai)同圓(yuan)或等(deng)圓(yuan)中(zhong)，兩條弦、兩條弧、兩個圓(yuan)周角、兩個圓(yuan)心角、兩條弦心距五(wu)對量中(zhong)只要有一對量相等(deng)，其(qi)余四對量也分(fen)別(bie)相等(deng)。

　　5.夾在平行線(xian)間的兩條弧相(xiang)等。

　　(1)過兩點(dian)的圓的圓心一定在兩點(dian)間(jian)連線段(duan)的中垂線上。

　　(2)不在同(tong)一直線上的三(san)點確定(ding)一個圓(yuan)，圓(yuan)心是三(san)邊中(zhong)垂線的交點，它到三(san)個點的距離相等。

　　(直角三(san)角形的外心(xin)就是斜邊的中點。)

　　6.直線與圓(yuan)的位置關系。d表示圓(yuan)心到直線的距離，r表示圓(yuan)的半(ban)徑。

　　直(zhi)(zhi)線(xian)(xian)(xian)與(yu)(yu)圓有兩個交(jiao)(jiao)點(dian)，直(zhi)(zhi)線(xian)(xian)(xian)與(yu)(yu)圓相(xiang)(xiang)交(jiao)(jiao);直(zhi)(zhi)線(xian)(xian)(xian)與(yu)(yu)圓只有一(yi)個交(jiao)(jiao)點(dian)，直(zhi)(zhi)線(xian)(xian)(xian)與(yu)(yu)圓相(xiang)(xiang)切;直(zhi)(zhi)線(xian)(xian)(xian)與(yu)(yu)圓沒有交(jiao)(jiao)點(dian)，直(zhi)(zhi)線(xian)(xian)(xian)與(yu)(yu)圓相(xiang)(xiang)離。

　　四.圓和圓

　　1.兩(liang)個圓(yuan)沒有公共點且每個圓(yuan)的(de)(de)點都在(zai)另一個圓(yuan)的(de)(de)外部時(shi)，叫(jiao)做這兩(liang)個圓(yuan)的(de)(de)外離。

　　2.兩個(ge)圓有唯一的公共(gong)點且(qie)除了這個(ge)公共(gong)點外，每個(ge)圓上的點都在另一個(ge)圓的外部，叫做兩個(ge)圓的外切。

　　3.兩個圓有兩個交(jiao)(jiao)點，叫做(zuo)兩個圓的(de)相交(jiao)(jiao)。

　　4.兩(liang)個(ge)圓有(you)唯一的(de)(de)(de)公共點(dian)(dian)(dian)且除了這個(ge)公共點(dian)(dian)(dian)外，每個(ge)圓上(shang)的(de)(de)(de)點(dian)(dian)(dian)都在另一個(ge)圓的(de)(de)(de)內(nei)部，叫做兩(liang)個(ge)圓的(de)(de)(de)內(nei)切。

　　5.兩個(ge)圓沒有公共點且每個(ge)圓的點都在另(ling)一個(ge)圓的內部時，叫做這兩個(ge)圓的內含(han)。

　　五.正多邊形和圓

　　1.正(zheng)(zheng)多(duo)邊形的概念：各邊相等(deng)，各角也相等(deng)的多(duo)邊形叫(jiao)做(zuo)正(zheng)(zheng)多(duo)邊形。

　　2.正多邊形(xing)與圓的關系：

　　(1)將一個圓(yuan)n(n≥3)等(deng)分(可以借助量角器)，依次連結各等(deng)分點(dian)所(suo)得的多邊形是這個圓(yuan)的內接正多邊形。

　　(2)這個(ge)圓是這個(ge)正多邊形的外接(jie)圓。

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