《同底數冪(mi)的除法(fa)》導學(xue)案(an)課件板書設計(ji)教(jiao)學(xue)實錄

　　第七課時

　　●課題

　　§1.5同底數冪(mi)的(de)除法

　　●教學目標

　　(一)教學知識點(dian)

　　1.經歷探(tan)索同底數冪(mi)除法的(de)運(yun)算(suan)性質(zhi)的(de)過程(cheng)，進一步體會冪(mi)的(de)意義(yi).

　　2.了解同底(di)數(shu)冪除(chu)法的運算性質，并(bing)能(neng)解決一(yi)些實際問題(ti).

　　3.理解(jie)零(ling)指數冪(mi)和負整數指數冪(mi)的意義(yi).

　　(二)能力訓練(lian)要求

　　1.在進一(yi)步體會冪(mi)的(de)意義的(de)過程中(zhong)，發展(zhan)學生的(de)推理能(neng)力和有條理的(de)表達能(neng)力.

　　2.提(ti)高學生觀察(cha)、歸納、類比、概括等能力(li).

　　(三)情感與(yu)價值觀要求

　　在解決問題的過程中(zhong)了解數學的價(jia)值(zhi)，發(fa)展(zhan)“用數學”的信心，提高(gao)數學素養(yang).

　　●教學重點

　　同底(di)數冪除法的運算性(xing)質及其應用.

　　●教學難點

　　零(ling)指數冪(mi)和負整(zheng)數指數冪(mi)的意義.

　　●教學方法

　　探索——引(yin)導相結(jie)合

　　在教師的引導下，組織學生探索同(tong)底數(shu)冪除(chu)法的運算性質(zhi)及零指數(shu)冪和負整數(shu)指數(shu)冪的意(yi)義(yi).

　　●教具準備

　　●教學過程

　　Ⅰ.創設問題情景，引入(ru)新課

　　看課本圖片

　　圖1－15

　　一種液(ye)體(ti)每升(sheng)含有1012個有害細(xi)菌(jun)(jun)，為了(le)試驗某種殺菌(jun)(jun)劑(ji)的效果，科學家們進行了(le)實驗，發現1滴(di)殺菌(jun)(jun)劑(ji)可以殺死(si)109個此種細(xi)菌(jun)(jun).要(yao)將(jiang)1升(sheng)液(ye)體(ti)中的有害細(xi)菌(jun)(jun)全部(bu)殺死(si)，需要(yao)這種殺菌(jun)(jun)劑(ji)多少滴(di)？你(ni)是怎樣(yang)計算的？

　　［師］這是和數學(xue)有(you)密切聯系的現實世界中的一個問題，下面請同學(xue)們(men)根據(ju)冪的意義和除(chu)法的意義，得(de)出這個問題的結果.

　　［生］根據(ju)題意，可得需(xu)要這種殺菌劑(ji)1012÷109個(ge).

　　而1012÷109= =

　　=10×10×10=1000(個(ge))

　　［生(sheng)］我是這樣算1012÷109的.

　　1012÷109=(109×103)÷109

　　= =103=1000.

　　［師］1012÷109是怎(zen)樣(yang)的一種運算呢？

　　［生］1012×109是同底數(shu)冪的乘法運(yun)(yun)算，1012÷109我們(men)就稱它為(wei)同底數(shu)冪的除法運(yun)(yun)算.

　　［師］很好！通過上面的(de)(de)問題，我(wo)們會發現同(tong)底(di)數冪的(de)(de)除法運(yun)(yun)算(suan)和現實世(shi)界有密切的(de)(de)聯系，因此我(wo)們有必要了(le)解(jie)同(tong)底(di)數冪除法的(de)(de)'運(yun)(yun)算(suan)性質.

　　Ⅱ.了解同底(di)數(shu)冪(mi)除法的(de)運(yun)算及其應用

　　［師］下(xia)面我(wo)們就先(xian)來看同(tong)底(di)(di)數(shu)冪(mi)除法的幾個特例，并從中(zhong)歸納(na)出同(tong)底(di)(di)數(shu)冪(mi)除法的運(yun)算性質(zhi).(出示投影片§1.5 B)

　　做(zuo)一(yi)做(zuo)：計算下列(lie)各(ge)式，并說明理由(m>n).

　　(1)108÷105;(2)10m÷10n;(3)(－3)m÷(－3)n.

　　［生］解：(1)108÷105

　　=(105×103)÷105 ——逆用同底(di)數(shu)冪乘(cheng)法的性質

　　=103；

　　［生］解：(1)108÷105

　　= = ——冪(mi)的意義

　　=1000=103；

　　［生］解(jie)：(2)10m÷10n

　　= ——冪的意義

　　= =10m－n ——乘方的意(yi)義

　　(3)(－3)m÷(－3)n

　　= ——冪的意(yi)義

　　= ——約分

　　=(－3)m－n ——乘方的意義

　　［師］我們(men)利用冪的意(yi)義，得到(dao)：

　　(1)108÷105=103=108－5;

　　(2)10m÷10n=10m－n(m>n);

　　(3)(－3)m÷(－3)n=(－3)m－n(m>n).

　　觀察上面(mian)三個式子，運(yun)算前后指(zhi)數(shu)和底數(shu)發(fa)生(sheng)了怎樣的變化(hua)？你能歸(gui)納出同底數(shu)冪(mi)除法的運(yun)算性(xing)質嗎？

　　［生］從(cong)上面三個式子(zi)中發現(xian)，運算前后的(de)底數沒有變化(hua)，商的(de)指數是被除數與(yu)除數指數的(de)差.

　　［生］從以上(shang)三個(ge)特(te)例，可以歸納出(chu)同底數冪的運(yun)算性質：am÷an=am－n(m,n是正整(zheng)數且m>n).

　　［生(sheng)］小括(kuo)號內的條件不(bu)(bu)完整.在(zai)同底數冪除法(fa)中(zhong)有一個(ge)最不(bu)(bu)能忽略的問題：除數不(bu)(bu)能為0.不(bu)(bu)然這個(ge)運(yun)(yun)算(suan)性質(zhi)無意義.所以在(zai)同底數冪的運(yun)(yun)算(suan)性質(zhi)中(zhong)規定這里的a不(bu)(bu)為0，記作a≠0.在(zai)前面的三個(ge)冪的運(yun)(yun)算(suan)性質(zhi)中(zhong)，a可取任意數或整式，所以沒有此規定.

　　［師］很(hen)好(hao)！這位同(tong)學考(kao)慮問題(ti)很(hen)全(quan)面.所以同(tong)底數冪的(de)除法的(de)運算性質為(wei)：am÷an=am－n(a≠0,m、n都為(wei)正整數，且(qie)m>n)運用自己的(de)語言如何描述呢？

　　［生(sheng)］同(tong)底(di)數(shu)冪相(xiang)除，底(di)數(shu)不(bu)變，指數(shu)相(xiang)減.

　　［師］能用冪的意義說明這(zhe)一性質是如何得來的嗎？

　　［生(sheng)］可以.由冪的意義(yi)，得

　　am÷an= = =am－n.(a≠0)

　　［例1］計算：

　　(1)a7÷a4;(2)(－x)6÷(－x)3;

　　(3)(xy)4÷(xy);(4)b2m+2÷b2;

　　(5)(m－n)8÷(n－m)3;(6)(－m)4÷(－m)2.

　　(7)地震(zhen)(zhen)的(de)強度通(tong)常(chang)用里克特(te)震(zhen)(zhen)級(ji)表(biao)示(shi).描繪地震(zhen)(zhen)級(ji)數(shu)字(zi)表(biao)示(shi)地震(zhen)(zhen)的(de)強度是10的(de)若干(gan)次冪(mi).例如用里克特(te)震(zhen)(zhen)級(ji)表(biao)示(shi)地震(zhen)(zhen)是8級(ji)，說(shuo)明地震(zhen)(zhen)的(de)強度是107.1992年4月(yue)，荷蘭發(fa)(fa)生了5級(ji)地震(zhen)(zhen)，12天后，加(jia)利福尼(ni)亞發(fa)(fa)生了7級(ji)地震(zhen)(zhen).加(jia)利福尼(ni)亞的(de)地震(zhen)(zhen)強度是荷蘭地震(zhen)(zhen)強度的(de)多少倍？

　　分(fen)析(xi)：開(kai)始(shi)練習(xi)同底數冪(mi)的除法(fa)運(yun)算時，不(bu)提(ti)倡直接套用公式，應說明每(mei)一步的理(li)由(you)，進一步體會乘(cheng)方的意(yi)義和冪(mi)的意(yi)義.

　　解：(1)a7÷a4=a7－4=a3;(a≠0)

　　(2)(－x)6÷(－x)3=(－x)6－3=(－x)3=－x3;(x≠0)

　　(3)(xy)4÷(xy)=(xy)4－1=(xy)3=x3y3;(xy≠0)

　　(4)b2m+2÷b2=b(2m+2)－2=b2m;(b≠0)

　　(5)(m－n)8÷(n－m)3=(n－m)8÷(n－m)3=(n－m)8－3=(n－m)5;(m≠n)

　　(6)(－m)4÷(－m)2=(－m)4－2=(－m)2=m2.(m≠0)

　　(7)根據題意，得：

　　106÷104=106－4=102=100

　　所(suo)以加(jia)利福尼(ni)亞的地震強度是荷蘭的100倍.

　　評(ping)注：1°am÷an=am－n(a≠0,m、n是正整(zheng)數(shu)，且m>n)中的(de)a可以(yi)代表數(shu)，也可以(yi)代表單項式、多(duo)項式等.

　　2°(5)小題，(m－n)8÷(n－m)3不是(shi)同底的，而應(ying)把(ba)它(ta)們化(hua)成同底，或將(m－n)8化(hua)成(n－m)8,或把(ba)(n－m)3化(hua)成－(m－n)3.

　　3°(6)小題(ti)，易錯為(－m)4÷(－m)2=－m2.－m2的底數是m,而(－m)2的底數是－m,所以(－m)4÷(－m)2=(－m)2=m2.

　　Ⅲ.探索零(ling)指數(shu)冪(mi)(mi)和負整數(shu)指數(shu)冪(mi)(mi)的意義(yi)

　　想一想：

　　10000=104, 16=24,

　　1000=10(), 8=2(),

　　100=10(), 4=2(),

　　10=10(). 2=2().

　　猜一猜

　　1=10(), 1=2(),

　　0.1=10(), =2(),

　　0.01=10(), =2(),

　　0.001=10(). =2()

　　［師］我們先來看“想一想”，你能完成嗎？完成后(hou)，觀察你會發現什(shen)么規(gui)律(lv)？

　　［生］1000=103， 8=23，

　　100=102，4=22，

　　10=101.2=21.

　　觀察可以(yi)發現，在“想一(yi)想”中冪都大于1，冪的值每縮小為(wei)原(yuan)來的 (或 )，指數就會減小1.

　　［師］你能利用冪的意義證(zheng)明這個(ge)規律(lv)嗎？

　　［生(sheng)］設n為(wei)(wei)正整數，10n>1,當(dang)它縮(suo)小(xiao)為(wei)(wei)原來的 時，可(ke)得10n× = = = =10n－1;又如2n>1,當(dang)它縮(suo)小(xiao)為(wei)(wei)原來的 時，可(ke)得2n× = =2n÷2=2n－1.

　　［師］保持這個規律，完(wan)成“猜(cai)一猜(cai)”.

　　［生］可以(yi)得到猜想

　　1=100， 1=20，

　　=0.1=10－1, =2－1,

　　=0.01=10－2, =2－2,

　　=0.001=10－3. =2－3.

　　［師(shi)］很棒！保持上面的規律，大家可以發現指數(shu)不(bu)是我們(men)學過的正(zheng)整(zheng)數(shu)，而出現了負整(zheng)數(shu)和0.

　　正(zheng)整(zheng)數(shu)(shu)(shu)冪(mi)的(de)意義表示(shi)幾個相(xiang)同的(de)數(shu)(shu)(shu)相(xiang)乘(cheng)，如(ru)(ru)an(n為正(zheng)整(zheng)數(shu)(shu)(shu))表示(shi)n個a相(xiang)乘(cheng).如(ru)(ru)果(guo)用此(ci)定義解(jie)釋負整(zheng)數(shu)(shu)(shu)指數(shu)(shu)(shu)冪(mi)，零指數(shu)(shu)(shu)冪(mi)顯然無意義.根據“猜(cai)一猜(cai)”，大家(jia)歸納(na)一下，如(ru)(ru)何(he)定義零指數(shu)(shu)(shu)冪(mi)和負整(zheng)數(shu)(shu)(shu)指數(shu)(shu)(shu)冪(mi)呢？

　　［生］由“猜一猜”得(de)

　　100=1，

　　10－1=0.1= ,

　　10－2=0.01= = ,

　　10－3=0.001= = .

　　20=1

　　2－1= ,

　　2－2= = ,

　　2－3= = .

　　所以a0=1,

　　a－p= (p為正(zheng)整數).

　　［師］a在這里(li)能取0嗎(ma)？

　　［生］a在(zai)這里不(bu)能取(qu)0.我們(men)在(zai)得出這一(yi)結(jie)論時，保(bao)持了一(yi)個規(gui)律，冪(mi)的值每縮小(xiao)為原(yuan)來的 ,指數就會(hui)減少1，因此a≠0.

　　［師(shi)］這一(yi)點很重要.0的(de)0次冪，0的(de)負整數(shu)次冪是無(wu)(wu)意義的(de)，就(jiu)如同除(chu)數(shu)為0時無(wu)(wu)意義一(yi)樣.因為我們規定：a0=1(a≠0);a－p= (a≠0,p為正整數(shu))

　　我們的(de)規定(ding)合理嗎？我們不妨假設同底數冪的(de)除法性質對于m≤n仍(reng)然成立來說(shuo)明這一規定(ding)是合理的(de).

　　例如由(you)于103÷103=1,借助于同底數冪(mi)的除(chu)法可(ke)得103÷103=103－3=100,因此可(ke)規(gui)定100=1.一般情況則為am÷am=1(a≠0).而am÷am=am－m=a0,所(suo)以a0=1(a≠0);

　　而am÷an= (m<n)==,根據(ju)同底數(shu)冪除法得(de)am÷an=am－n(m<n,m－n為負數(shu)).令n－m=p,m－n=－p,則am－n=,即(ji)a－p=(a≠0,p為正整數(shu)).

　　因(yin)此(ci)上述規定是合理的.

　　［例3］用小數(shu)或分數(shu)表示下列各數(shu)：

　　(1)10－3;(2)70×8－2;(3)1.6×10－4.

　　解：(1)10－3= = =0.001;

　　(2)70×8－2=1× = ;

　　(3)1.6×10－4=1.6× =1.6×0.0001=0.00016.

　　Ⅳ.課時小結

　　［師］這一(yi)節課收獲真不小，大家可以談一(yi)談.

　　［生］我(wo)這(zhe)節課最大的收獲是知(zhi)道了(le)指(zhi)數(shu)還有(you)負整數(shu)和(he)0指(zhi)數(shu)，而(er)且還了(le)解了(le)它們的定義：a0=1(a≠0),a－p= (a≠0,p為(wei)正(zheng)整數(shu)).

　　［生］這(zhe)節課還學習(xi)了同(tong)底數冪的除(chu)法(fa)：am÷an=am－n(a≠0,m,n為正(zheng)整(zheng)數，m>n),但學習(xi)了負整(zheng)數和0指數冪之后，m>n的條件可以不要，因為m≤n時，這(zhe)個(ge)性質也(ye)成立.

　　［生］我(wo)特別(bie)注意了我(wo)們這節課所(suo)學的幾(ji)個性質，都有一個條件a≠0,它(ta)是由除數(shu)不為0引出的，我(wo)覺得(de)這個條件很重要(yao).

　　［師(shi)］同學們(men)(men)收(shou)獲確實不小，祝賀你(ni)們(men)(men)！

　　Ⅴ.課后作業

　　1.課本P21，習題1.7第1、2、3、4題.

　　2.總(zong)結冪的(de)四個運算性質，并反思(si)作(zuo)業中的(de)錯誤.

　　●板書設計

　　§1.5同底(di)數冪的除法

　　1.同(tong)底數冪的除法

　　歸納：am÷an=am－n(a≠0,m、n都是正整數(shu)且m>n)

　　說(shuo)明：am÷an= = =am－n.

　　語(yu)言描述：同(tong)底數(shu)冪的除(chu)法，底數(shu)不變，指數(shu)相減.

　　2.零指數(shu)冪(mi)和負整數(shu)指數(shu)冪(mi)

　　a0=1(a≠0)

　　a－p= (a≠0,p為正整數)

　　3.例題(由(you)學生板演)

　　●備課資料

　　參考練習

　　1.下面計(ji)算中(zhong)，正確的(de)是( )

　　A.a2n÷an=a2

　　B.a2n÷a2=an

　　C.(xy)5÷xy3=(xy)2

　　D.x10÷(x4÷x2)=x8.

　　2.(2×3－12÷2)0等于( )

　　A.0 B.1 C.12 D.無意義

　　3.若x2m+1÷x2=x5,則m的值為(wei) ( )

　　A.0 B.1 C.2 D.3

　　4.(a2)4÷a3÷a等(deng)于( )

　　A.a5 B.a4 C.a3 D.a2

　　5.若32x+1=1,則x= ;若3x= ,則x= .

　　6.xm+n÷xn=x3,則m= .

　　7.計算：［－2－3－8－1×(－1)－2］×(－ )－2×70.

　　8.計算：( )－1+( )0－( )－1.

　　9.已知10m=3,10n=2,求102m－n的值.

　　10.已(yi)知3x=a,3y=b,求32x－y的(de)值(zhi).

　　答案：1.D2.D3.D4.B

　　5.－ －36.37.－18.－

　　9. 10.

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